Métodos para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables

¿Como resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables? 

Para resolver un sistema de este tipo, se pueden utilizar los mismos métodos empleados para resolver los sistemas de dos variables, aunque se recomienda emplear el de reducción y de Cramer. El sistema puede tener solución única, conjunto infinito de soluciones o no tener solución.
Las ecuaciones pueden tener más de una o dos variables. Te encontrarás con ecuaciones que tienen tres variables. Las ecuaciones con una variable se grafican en una recta. Las ecuaciones con dos variables se grafican en un plano. Las ecuaciones con tres variables se grafican en un espacio tridimensional.
Las ecuaciones con una variable requieren sólo una ecuación para tener una solución única. Las ecuaciones con dos variables requieren dos ecuaciones para tener una solución única (un par ordenado). Entonces no debería sorprendernos que las ecuaciones de tres variables requieren un sistema de tres ecuaciones para tener una solución única (una tercia ordenada).

Reducción (suma y resta)

Se procede de la misma forma que en los sistemas de ecuaciones con dos variables, es decir, se toman dos de las tres ecuaciones y se elimina una de las variables. Posteriormente, se toma cualquiera de las ecuaciones que se eligieron y en la que no se utilizó se elimina la misma variable, de tal manera que se obtienen dos ecuaciones con dos variables; al hallar la solución del sistema se determina el valor de las dos variables, después se sustituyen en cualquiera de las tres ecuaciones originales, para obtener la tercer variable.

Determinantes 

Un determinante de tres por tres es un arreglo rectangular de números de la siguiente forma:

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables

¿Que es el sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables?

Un sistema lineal con dos ecuaciones y dos variables está formado por dos ecuaciones lineales, cada una generalmente con las variables x e y.

Una solución de un sistema es una asignación de valor es de las variables que hacen que cada una de las ecuaciones del sistema se cumpla. Resolverlo consiste en determinar los valores de x e y que hacen ciertas simultáneamente las dos igualdades. Un sistema de este tipo puede no tener solución, tener una solución o infinitas soluciones. Existen varios métodos algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas; entre ellos se encuentra el método de sustitución. Estos sistemas se utilizan para resolver problemas relacionados con la ciencia o con más campos.Se ha visto que el conjunto solución de la ecuación Ax + By + C = 0, son todos los pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuación. 

Cada ecuación representa una recta en el plano, entonces, se pueden presentar tres casos:

• Las rectas se intersecan en un punto.  Las rectas sólo coinciden en un punto, por tanto, se dice que el sistema tiene una solución.

Ejemplo

 Gráfica y determina la solución del siguiente sistema:

 

• Las rectas son coincidentes. Dos ecuaciones representan rectas coincidentes si al multiplicar una de ellas por un número real k, se obtiene la otra. En un sistema de rectas coincidentes el conjunto solución es infi nito, es decir, el conjunto solución son todos los puntos de las rectas. 

Ejemplo 

Gráfica y determina el conjunto solución del siguiente sistema

Las rectas coinciden en todos sus puntos, por tanto, el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones. Se observa que si multiplicamos la ecuación x − 2y = 6, por 3, se obtiene la otra ecuación.

• Las rectas son paralelas. En este caso, las rectas no tienen ningún punto en común, por tanto, el sistema no tiene solución. 

Ejemplo

 Gráfica y determina el conjunto solución del siguiente sistema:

Al graficar las rectas se observa que son paralelas, es decir, no hay un punto común, por consiguiente no hay solución, entonces se dice que el conjunto solución es vacío

Ecuaciones Lineales

 

¿Qué son las ecuaciones lineales?

Las ecuaciones lineales son ecuaciones de primer orden. Estas ecuaciones están definidas por líneas en el plano cartesiano. Una ecuación para una línea recta es llamada una ecuación lineal. Todas las variables en las ecuaciones lineales tienen un orden máximo de 1.

Se trata de aquella igualdad que involucra una o más variables de la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En la enseñanza secundaria se abordan con mucho énfasis las de una y dos variables. 

Ejemplo: la ecuación  es lineal:

Ecuación lineal Una ecuación de la forma Ax + By + C = 0, donde A, B y C son constantes reales tales que A y B no son cero, recibe el nombre de lineal. 

Ejemplos

1. 2x − 3y − 4 = 0, es una ecuación lineal con: A = 2, B = − 3 y C = − 4

2. − 5x + 4y = 0, es una ecuación lineal con: A = − 5, B = 4 y C = 0

3. x + 2 = 0, es una ecuación lineal con: A = 1, B = 0 y C = 2

4. 2y − 3 = 0, es una ecuación lineal con: A = 0, B = 2 y C = − 3

Una ecuación que se puede escribir de la forma Ax + By + C = 0 también es lineal.

Solución de una ecuación lineal

Una ecuación lineal tiene como conjunto solución todos los pares ordenados (x, y), que satisfacen la ecuación, donde x y y son números reales.

Gráfica

La gráfica de una ecuación lineal Ax + By + C = 0, es una recta que forman los puntos de su conjunto solución: {(x , y) Ax +By+ C= 0}

Por último, se localizan los puntos en el plano y se traza una recta sobre ellos

Otra forma de graficar Ax + By + C = 0, es transformarla a la forma y= mx + b y aplicar algunos de los métodos vistos en el capítulo 7.

Fracciones Algebraicas

 

Máximo común divisor (MCD) 

El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es el término o polinomio que divide exactamente a todas y cada una de las expresiones dadas. 

Regla para obtener el MCD: 

• Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes. 
• Se toman los factores (monomio o polinomio) de menor exponente que tengan en común y se multiplican por el máximo común divisor de los coefi cientes.

Mínimo común múltiplo (mcm) 

El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es el término algebraico que se divide por todas y cada una de las expresiones dadas. 

Regla para obtener el mínimo común múltiplo: 

• Se obtiene el mcm de los coeficientes. 
• Se toman los factores que no se repiten y, de los que se repiten, el de mayor exponente, y se multiplican por el mínimo común múltiplo de los coefi cientes. 

Simplificación de fracciones algebraicas

 

Una fracción algebraica contiene literales y se simplifica al factorizar al numerador y al denominador y al dividir aquellos factores que se encuentren en ambas posiciones, como a continuación se ejemplifica.

Suma y resta de fracciones con denominador común

Suma y resta de fracciones con denominadores diferentes

Multiplicación de fracciones algebraicas 

Regla para multiplicar fracciones: 

• Descomponer en factores los elementos de las fracciones que se van a multiplicar. 
• Se simplifican aquellos términos que sean comunes en el numerador y denominador de las fracciones que se van a multiplicar. 
• Multiplicar todos los términos restantes

División de fracciones algebraicas 

Regla para dividir fracciones: 

• Primero se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, de lo que resulta el numerador de la fracción solución; el denominador de la fracción solución se obtiene al multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. De preferencia los productos se dejan indicados.
• Se simplifican los términos o factores que sean comunes, en el numerador y denominador, de las fracciones que se van a multiplicar.
• Se multiplican todos los términos restantes.

• 

Combinación de operaciones con fracciones 

La simplifi cación de este tipo de operaciones, en las que se combinan operaciones básicas, se basa en la jerarquización de operaciones de izquierda a derecha, como sigue: 

• Divisiones y productos
• Sumas y restas

Fracciones complejas 

En una fracción compleja el numerador y el denominador se conforman por operaciones algebraicas.

Productos Notables

 

DEFINICIÓN  

Los productos notables se obtienen con un simple desarrollo, sin necesidad de efectuar el producto. 

CUADRADO DE UN BINOMIO 

El desarrollo de la suma de dos cantidades al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo; esta regla general se expresa con la fórmula:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

A la expresión resultante se le conoce como trinomio cuadrado perfecto.

CUADRADO DE UN TRINOMIO 

El desarrollo de la expresión: (a + b + c)^2 es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más los dobles productos de las combinaciones entre ellos:

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

Demostración

La expresión (a + b + c)^2 es equivalente al producto (a + b + c) (a + b + c), entonces: 

(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c) = a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2 

Al simplificar los términos semejantes: 

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

BINOMIOS CONJUGADOS

Son de la forma (a + b)(a − b) y su resultado es la diferencia de los cuadrados de ambas cantidades, como se ilustra en la fórmula: 

(a + b)(a – b) = a^2 – b^2

BINOMIOS CON TERMINO COMÚN 

Son de la forma (x + a) (x + b), su resultado es un trinomio cuyo desarrollo es el cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes por el término común, más el producto de los no comunes. 

(x + a) (x + b) = x^2 + (a + b) x + ab

Demostración 

Se realiza el producto de los binomios: 

(x + a) (x + b) = x^2 + ax + bx + ab 

Se agrupan los términos semejantes y se obtiene la fórmula: 

(x + a) (x + b) = x^2 + ax + bx + ab = x^2 + (a + b)x + ab

CUBO DE UN BINOMIO  

Es de la forma (a + b)^3 , su desarrollo es un polinomio de cuatro términos al que se llama cubo perfecto y su desarrollo es el cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. 

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3

Simbología Matemática

 

Como en cualquier otra ciencia en las matemáticas se utilizan ciertos símbolos para representar cosas y acciones que son importantes para poder practicarla. Ahora bien, los símbolos matemáticos son todos aquello elementos gráficos que se encargan de dar una definición, dar una demostración para efectuar una operación. Es decir, son todos aquellos símbolos que se emplean para interpretar todas las acciones matemáticas.

¿QUÉ SON LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS?

Los símbolos matemáticos son todos aquellos que representan las acciones y operaciones en la matemática. Es decir, se trata de aquellos signos y símbolos que trabajan como ejecutor para las prácticas matemáticas. Todo número racional o real está identificado por un signo bien sea negativo o positivo, por otro lado, los signos matemáticos también hacen referencias a los símbolos como lo son +, -, x y /.

En pocas palabras, es la abreviatura que sirve para representar una cantidad o un concepto y que posee un significado especial. 

PRINCIPALES SÍMBOLOS  MATEMÁTICOS

Para realizar operaciones en la matemática existen diversos signos importantes que nos permiten identificar qué tipo de operación se va a realizar. Existen signos que son conocidos como los más básicos como lo son (+, -, x, /). Sin embargo, se encuentran otros signos que también son utilizados en operaciones con mayor dificultad, es por ello que a continuación vamos a dar un pequeño resumen de los principales signos más empleados en la matemática.
+ Símbolo de adición
– Símbolo de sustracción
* o × o • Estos son utilizados para las opresiones de multiplicar
/ o ÷ Signos para operaciones de división.
± Es utilizado en ecuaciones determinando que se puede sumar o restar.
> Indica que el número de la izquierda es mayor.
<> Indica que el número de la izquierda es mayor.
≥ Indica que el número de la izquierda es mayor o igual que el de la derecha.
≤ Indica que el número de la izquierda es menor o igual que el de la derecha.
∑ Signo de la sumatoria total de la operación
√ Símbolo de la raíz cuadrada
∞ Signo conocido como el infinito
≡ Signo de la equivalencia entre números
≠ Indica que dos números son diferentes

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS EN OPERACIONES AVANZADAS 

∩ Intersección
|| Valor absoluto
∂ Derivación parcial
∆ Variación o Delta que indica la discriminante de un polinomio
∩ representa la intersección de dos elementos
n! Factorial de cualquier número
∫ Indica la operación de integración
∂ Indica las derivadas.
sen Valor del seno de x
cos Valor del coseno de x
sec Valor de la secante de x
csc Valor de la cosecante de x
tan Valor de la tangente de x
cot Valor de la cotangente de x
f función de x
π Símbolo pi
∏ Multiplicatoria o productora
⇒ Entonces, Indica la afirmación es verdadera, pero
⇔ Si y sólo sí.
¬/ Complemento lógico
{} Corchetes

RESUMEN DE LOS SÍMBOLOS 

 SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN 

Cuando realizamos dos o más operaciones algebraicas es conveniente utilizar símbolos de agrupación para indicar el nivel de preferencia, de tal manera que señalemos su secuencia operacional. Así tenemos que se utilizan los siguientes símbolos -{[()]}-, en donde debe resolverse primero la expresión señalada con paréntesis ordinario (circular), a continuación, la expresión marcada con corchetes, después con llaves y por último con barras. El analista matemático comprenderá cuál es la operación que debe realizar primero, atendiendo a la secuencia en el desarrollo del problema.

Los paréntesis angulares, corchetes angulares o cuñas representan estructuras matemáticas que se encuentran compuestas a su vez de otras estructuras y no indican multiplicación.

IMPORTANCIA DE LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS 

Las matemáticas es una ciencia que para muchos puede llegar a ser complicada, sin embargo, con el buen uso de sus elementos esta está muy sencilla de aprender. Como en toda ciencia la utilización de sus elementos es fundamental para entender y realizar las mejores operaciones. Los signos matemáticos son importantes para realizar de la mejor manera posible cualquier tipo de operación, incluso si estos se utilizan de manera inadecuada pueden llegar a cambiar todo un cálculo dando resultados devastadores.

Los Números Decimales

 

HISTORIA DE LOS NÚMEROS DECIMALES 

Al-Kashi (n. 1380) contribuyó al desarrollo de las fracciones decimales no sólo para aproximar números algebraicos, sino también para números reales como pi. Su aporte a las fracciones decimales es tan importante que por muchos años se le consideró su inventor. Sin embargo, en la década de los ochenta del siglo pasado se halló evidencia de que el empleo de fracciones decimales se remonta al siglo X en el Islam, por al-Uqlidisi; de hecho, el sistema de notación que empleó al-Uqlidisi era superior al de al-Kashi.

Definición 

Un número decimal o fracción decimal es el cociente de números racionales o el resultado de una fracción común. 

Existen dos tipos de números decimales, los exactos y los inexactos. 

Números decimales exactos. Son aquellos que tienen un número finito de cifras decimales. 

Ejemplos: 0.25, es un número de 2 cifras decimales 0.732, tiene 3 cifras decimales 2.1, tiene una cifra entera y una decimal.

Números decimales inexactos. Son aquellos que tienen un número infinito de cifras decimales. En estos números, los puntos suspensivos indican que existe un número infinito de cifras o que el residuo de la división nunca es cero. 

Ejemplos: 0.96525..., 0.85858585..., 6.333333..

Números decimales inexactos periódicos 

Decimal que tiene una o más cifras que se repiten indefinidamente después del punto o de una cierta cifra decimal. La cifra o cifras repetidas reciben el nombre de periodo. 

Ejemplos: Los decimales periódicos se expresan de la siguiente forma:

0 33333 0 3 . ... . = , en este ejemplo el periodo consta de una cifra 

0 32565656 0 3256 . ... . = , el periodo es 56 y la parte no periódica es 32

5 315024024024 5 315024 . ... . = , 5 es la parte entera, 315 la decimal y 024 el periodo

Números decimales inexactos no periódicos

 Decimal que no tiene un periodo. Estos números representan a los números irracionales (no se expresan como el cociente de 2 números enteros). 

Ejemplos 1 7320508 3 . ... = , 3141592654 . ... = π , 27182818 . ... = e

Suma y resta 

Se acomodan los elementos de la operación en forma vertical con el punto decimal como referencia y se hacen coincidir las clases, para después efectuar las operaciones correspondientes.

Multiplicación 

Se efectúa igual que la multiplicación de números enteros. Para ubicar el punto decimal se cuentan las cifras que contengan ambos factores a la derecha del punto decimal, lo que indica el lugar que debe ocupar el punto decimal, de derecha a izquierda, en el resultado.

Multiplicación por múltiplos de 10

Cuando se multiplica una cantidad por un múltiplo de 10 (10, 100, 1 000, 10 000, …), el punto decimal se recorre hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga el múltiplo de 10. 

Ejemplo: ¿Cuál es el resultado de 3.102 × 100? 

Solución: El múltiplo de 10 es 100 y está formado por 2 ceros, por lo tanto, el punto decimal se recorre 2 lugares a la derecha de su posición inicial y se obtiene como resultado: 

3.102 × 100 = 310.2

División de un número decimal entre un número entero 

Primero se divide la parte entera entre el divisor. Al llegar al punto decimal, éste se sube al cociente y se continúa la operación como si fueran números enteros. Las cifras subsecuentes del cociente quedarán después del punto decimal. Si la parte entera es menor que el divisor, entonces la primera cifra del cociente queda inmediatamente después del punto decimal.

División de un número entero entre un número decimal 

Se multiplica el divisor por 10, 100, 1 000, …, según se necesite para hacerlo entero, esta cantidad por la que se multiplicó el divisor también se multiplica por el dividendo. Y posteriormente se efectúa la división.

Conversiones 

Cualquier fracción común puede representarse como un número decimal y viceversa. A continuación se explican y ejemplifican las diferentes formas. Dada la fracción común, para convertirla en número decimal se divide el numerador entre el denominador.

Observa cómo se realizan las operaciones con números decimales