Productos Notables

 

DEFINICIÓN  

Los productos notables se obtienen con un simple desarrollo, sin necesidad de efectuar el producto. 

CUADRADO DE UN BINOMIO 

El desarrollo de la suma de dos cantidades al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo; esta regla general se expresa con la fórmula:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

A la expresión resultante se le conoce como trinomio cuadrado perfecto.

CUADRADO DE UN TRINOMIO 

El desarrollo de la expresión: (a + b + c)^2 es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más los dobles productos de las combinaciones entre ellos:

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

Demostración

La expresión (a + b + c)^2 es equivalente al producto (a + b + c) (a + b + c), entonces: 

(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c) = a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2 

Al simplificar los términos semejantes: 

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

BINOMIOS CONJUGADOS

Son de la forma (a + b)(a − b) y su resultado es la diferencia de los cuadrados de ambas cantidades, como se ilustra en la fórmula: 

(a + b)(a – b) = a^2 – b^2

BINOMIOS CON TERMINO COMÚN 

Son de la forma (x + a) (x + b), su resultado es un trinomio cuyo desarrollo es el cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes por el término común, más el producto de los no comunes. 

(x + a) (x + b) = x^2 + (a + b) x + ab

Demostración 

Se realiza el producto de los binomios: 

(x + a) (x + b) = x^2 + ax + bx + ab 

Se agrupan los términos semejantes y se obtiene la fórmula: 

(x + a) (x + b) = x^2 + ax + bx + ab = x^2 + (a + b)x + ab

CUBO DE UN BINOMIO  

Es de la forma (a + b)^3 , su desarrollo es un polinomio de cuatro términos al que se llama cubo perfecto y su desarrollo es el cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. 

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3