Los Números Racionales

Historia de los números racionales 

La idea de número racional como relación entre dos enteros fue utilizada por los pitagóricos en el siglo VI a. de C. Años antes, los babilonios y los egipcios utilizaron algunas fracciones, las que tenían como numerador 1, por ejemplo: 1/2 y 1/3 , y algunas en particular como: 2/3. Después fueron los hindúes, quienes se encargaron de formalizar las reglas para ejecutar las operaciones entre números fraccionarios. Algunas reglas generales las plantearon Aryabhata, y luego Bramagupta, en los siglos VI y VII, respectivamente. Tiempo después fueron los mismos hindúes quienes se encargaron de sistematizar y ampliar estas reglas. De modo que las reglas que utilizamos en la actualidad para trabajar con fracciones, fueron obra de Mahavira, en el siglo IX, y Bháskara, en el siglo XII. 

Durante el siglo XV el matemático persa Al-kashi planteó la escritura decimal de los números fraccionarios y, al mismo tiempo, estableció las reglas de cálculo con los números decimales. En el Occidente cristiano a las fracciones decimales se les conocía como fracciones de los turcos.

Posteriormente a las fracciones equivalentes, que pueden ser simplificadas, se les denominó números racionales, mientras que la fracción siempre será un término que no tiene factores comunes entre el numerador y el denominador, es decir, es irreducible.

Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de números enteros y pertenecen a la recta real. 

No todas las cantidades se pueden representar a través de números naturales o enteros, aprende qué son los números racionales aquí.
Observa la siguiente situación: tres amigos cavernícolas salen en búsqueda de frutas para recolectar. Pasan todo el día buscando y solo encuentran cuatro sandías.  Si reparten todo lo que encontraron en porciones iguales, ¿cuánto corresponde a cada uno de ellos?

Les debe pertenecer más de una sandía pues ellos son tres y lograron recolectar más que ese número.  Les corresponde dos si hubieran encontrado seis, pero no encontraron sino cuatro.  Así, el número que representa la cantidad de sandía que les corresponde se encuentra entre y .

¿Conoces algún natural o entero que representé cuánto corresponde a cada uno?  Fíjate que queremos representar el resultado de dividir una cantidad entera en cierto número de partes iguales, en este caso dividir cuatro entre tres.  Necesitamos los símbolos adecuados para simbolizar tales divisiones:

Supongamos que y son dos números enteros, es decir: a, b que pertenecen a Z. Cuando queramos distribuir la cantidad en partes iguales, escribiremos para representar cada una de esas partes.

Llamaremos numerador al número de arriba y denominador al de abajo.

Volviendo al ejemplo de nuestros amigos cavernícolas, como se quieren dividir cuatro sandías en tres partes iguales, representamos cada parte con la expresión, que podemos leer simplemente como "cuatro sobre tres". En este caso, es el numerador y  es el denominador. 

Una forma de solucionar el problema de los tres amigos es dar a cada uno una sandía y dividir la restante en tres, dando a cada uno la fracción que le corresponde.

Podemos describir el conjunto de los números racionales o fraccionarios por comprensión así: 

La anterior expresión debe ser leída así: “Q es el conjunto de las expresiones  tales que  y  son números enteros y  es diferente a cero”.

Operaciones en el conjunto de los números racionales o fraccionarios

Cada vez que definimos nuevos conjuntos ganamos en el número de operaciones que podemos realizar, esto sucedió también con los conjuntos N y Z.

¿El sucesor de un número racional?

¿Crees que dado un número racional es posible encontrar el siguiente?  Fijemos las ideas: ubiquémonos en un número racional, por ejemplo, el 0.  ¿Cuál número racional es el siguiente al cero?  Si estuviéramos restringidos a N o Z, el sucesor sería simplemente 1, sin embargo, en el conjunto de los números racionales podemos representar fracciones de unidad.

Lo anterior quiere decir que para encontrar el sucesor del cero debemos buscar la expresión del tipo a/b que represente la parte de unidad más cercana a cero, que representa no tener nada.
Representemos las unidades con círculos.  Si partimos una unidad en dos partes iguales debemos representar cada una de ellas con la expresión 1/2, si la partimos en tres, con la expresión 1/3 y así sucesivamente.

En la figura anterior puedes ver las partes de unidad que representan las fracciones 1, ½, 1/3, ¼ y 1/5 resaltadas con color.  Como te puedes dar cuenta, entre más partes se divide la unidad, más pequeñas resultan cada una de las partes.  Las expresiones 1/6, 1/7 y 1/8 etc. representan partes aún más pequeñas.

Entonces... ¿cuál es el sucesor del cero? ¡No existe!  Los números fraccionarios no tienen sucesor; es decir, si nos ubicamos en cualquier racional no existe uno que siga sin que no haya más entre estos.  Cada vez que escojas dos números racionales cualesquiera, por más cercanos que sean, encontrarás que entre ellos existen infinitos.