Los Números Decimales

 

HISTORIA DE LOS NÚMEROS DECIMALES 

Al-Kashi (n. 1380) contribuyó al desarrollo de las fracciones decimales no sólo para aproximar números algebraicos, sino también para números reales como pi. Su aporte a las fracciones decimales es tan importante que por muchos años se le consideró su inventor. Sin embargo, en la década de los ochenta del siglo pasado se halló evidencia de que el empleo de fracciones decimales se remonta al siglo X en el Islam, por al-Uqlidisi; de hecho, el sistema de notación que empleó al-Uqlidisi era superior al de al-Kashi.

Definición 

Un número decimal o fracción decimal es el cociente de números racionales o el resultado de una fracción común. 

Existen dos tipos de números decimales, los exactos y los inexactos. 

Números decimales exactos. Son aquellos que tienen un número finito de cifras decimales. 

Ejemplos: 0.25, es un número de 2 cifras decimales 0.732, tiene 3 cifras decimales 2.1, tiene una cifra entera y una decimal.

Números decimales inexactos. Son aquellos que tienen un número infinito de cifras decimales. En estos números, los puntos suspensivos indican que existe un número infinito de cifras o que el residuo de la división nunca es cero. 

Ejemplos: 0.96525..., 0.85858585..., 6.333333..

Números decimales inexactos periódicos 

Decimal que tiene una o más cifras que se repiten indefinidamente después del punto o de una cierta cifra decimal. La cifra o cifras repetidas reciben el nombre de periodo. 

Ejemplos: Los decimales periódicos se expresan de la siguiente forma:

0 33333 0 3 . ... . = , en este ejemplo el periodo consta de una cifra 

0 32565656 0 3256 . ... . = , el periodo es 56 y la parte no periódica es 32

5 315024024024 5 315024 . ... . = , 5 es la parte entera, 315 la decimal y 024 el periodo

Números decimales inexactos no periódicos

 Decimal que no tiene un periodo. Estos números representan a los números irracionales (no se expresan como el cociente de 2 números enteros). 

Ejemplos 1 7320508 3 . ... = , 3141592654 . ... = π , 27182818 . ... = e

Suma y resta 

Se acomodan los elementos de la operación en forma vertical con el punto decimal como referencia y se hacen coincidir las clases, para después efectuar las operaciones correspondientes.

Multiplicación 

Se efectúa igual que la multiplicación de números enteros. Para ubicar el punto decimal se cuentan las cifras que contengan ambos factores a la derecha del punto decimal, lo que indica el lugar que debe ocupar el punto decimal, de derecha a izquierda, en el resultado.

Multiplicación por múltiplos de 10

Cuando se multiplica una cantidad por un múltiplo de 10 (10, 100, 1 000, 10 000, …), el punto decimal se recorre hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga el múltiplo de 10. 

Ejemplo: ¿Cuál es el resultado de 3.102 × 100? 

Solución: El múltiplo de 10 es 100 y está formado por 2 ceros, por lo tanto, el punto decimal se recorre 2 lugares a la derecha de su posición inicial y se obtiene como resultado: 

3.102 × 100 = 310.2

División de un número decimal entre un número entero 

Primero se divide la parte entera entre el divisor. Al llegar al punto decimal, éste se sube al cociente y se continúa la operación como si fueran números enteros. Las cifras subsecuentes del cociente quedarán después del punto decimal. Si la parte entera es menor que el divisor, entonces la primera cifra del cociente queda inmediatamente después del punto decimal.

División de un número entero entre un número decimal 

Se multiplica el divisor por 10, 100, 1 000, …, según se necesite para hacerlo entero, esta cantidad por la que se multiplicó el divisor también se multiplica por el dividendo. Y posteriormente se efectúa la división.

Conversiones 

Cualquier fracción común puede representarse como un número decimal y viceversa. A continuación se explican y ejemplifican las diferentes formas. Dada la fracción común, para convertirla en número decimal se divide el numerador entre el denominador.

Observa cómo se realizan las operaciones con números decimales 

Los Números Reales

Conozcamos un poco de su historia

Los números naturales tienen su origen en una necesidad tan antigua como lo son las primeras civilizaciones: la necesidad de contar.

El hombre primitivo identificaba objetos con características iguales y podía distinguir entre uno y otro; pero no le era posible captar la cantidad a simple vista. Por ello empezó a representar las cantidades mediante marcas en huesos, trozos de madera o piedra; cada marca representaba un objeto observado, así concibió la idea del número.

Para el siglo X d. C. el matemático y poeta Omar Khayyam estableció una teoría general de número y añadió algunos elementos a los números racio[1]nales, como son los irracionales, para que pudieran ser medidas todas las magnitudes.

Sólo a finales del siglo XIX se formalizó la idea de continuidad y se dio una definición satisfactoria del conjunto de los números reales; los trabajos de Cantor, Dedekind, Weierstrass, Heine y Meray, entre otros, destacan en esta labor.

conozcamos más de los números reales.

Clasificación

El hombre ha tenido la necesidad de contar desde su aparición sobre la Tierra hasta nuestros días, para hacerlo se auxilió de los números 1, 2, 3, 4, 5, …, a los que llamó números naturales. Números que construyó con base en el principio de adición; sin embargo, pronto se dio cuenta de que este principio no aplican para aquellas situaciones en las que necesitaba descontar. Es entonces que creó los números negativos, así como el elemento neutro (cero), que con los números naturales forman el conjunto de los números enteros, los cuales son:

…, − 5, − 4, − 3, − 2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Asimismo, se percató que al tomar sólo una parte de un número surgían los números racionales, que se expresan como el cociente de 2 números enteros, con el divisor distinto de cero, ejemplo:  

Aquellos números que no es posible expresar como el cociente de 2 números enteros, se conocen como números irracionales: 

Al unir los números anteriores se forman los números reales, los cuales se representan en la recta numérica.

Propiedades 

Los números reales son un conjunto cerrado para la suma y la multiplicación, lo que significa que la suma o multiplicación de números reales da como resultado otro número real. De lo anterior se desprenden las siguientes propiedades

En el siguiente vídeo conocerás la explicación de las propiedades de los números reales.

Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no recursivo es aquel que es imposible de especificar explícitamente.

Los matemáticos usan el símbolo  (o, de otra forma , la letra R en negrita) para representar el conjunto de todos los números reales. La notación matemática se refiere a un espacio de dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor consiste en tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.

Los números reales= R se utilizan para la medición de cantidades reales como: longitud, velocidad, etc. 

Los Números Irracionales

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS IRRACIONALES?

Los números irracionales son números reales que no pueden expresarse ni de manera exacta ni de manera periódica. 

En otras palabras, los números irracionales son números reales que no somos capaces de expresarlos en forma de fracción porque desconocemos tanto el numerador como el denominador.

Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.

Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que, al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.

Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.

Los números irracionales se identifican con la letra:

Notación de los números irracionales

La representación gráfica de los números irracionales se la hace con las letras mayúsculas así:

R − Q

Se la utiliza de esta manera para diferenciarla de los números imaginarios, cuya representación es la i minúscula. Pero el símbolo no se representa en las ecuaciones al no constituir una estructura algebraica, y para no crear confusión, en ocasiones se los puede ver como R/Q como la representación de números irracionales por definición.

Existen algunos casos especiales de números irracionales famosos que tienen su propia notación y simbología, estos casos serán tratados posteriormente.

Propiedades de los números irracionales

Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:

Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.

Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π) +e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).

Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo, π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.

La multiplicación es distributiva en relación con la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.

Números irracionales famosos

Como se mencionaba anteriormente, existen números irracionales determinados que son utilizados en diferentes ramas, para operaciones específicas, algunos de ellos son:

Tipos de números irracionales

Los números reales se dividen entre números irracionales y números racionales, los cuales pueden reducirse a números enteros y estos a números naturales. Los números irracionales quedan al margen y no pueden subdividirse más. Es decir, que técnicamente no existen tipos de números irracionales.

Observa el siguiente video para que conozcas más sobre los números irracionales 

Los Números Racionales

Historia de los números racionales 

La idea de número racional como relación entre dos enteros fue utilizada por los pitagóricos en el siglo VI a. de C. Años antes, los babilonios y los egipcios utilizaron algunas fracciones, las que tenían como numerador 1, por ejemplo: 1/2 y 1/3 , y algunas en particular como: 2/3. Después fueron los hindúes, quienes se encargaron de formalizar las reglas para ejecutar las operaciones entre números fraccionarios. Algunas reglas generales las plantearon Aryabhata, y luego Bramagupta, en los siglos VI y VII, respectivamente. Tiempo después fueron los mismos hindúes quienes se encargaron de sistematizar y ampliar estas reglas. De modo que las reglas que utilizamos en la actualidad para trabajar con fracciones, fueron obra de Mahavira, en el siglo IX, y Bháskara, en el siglo XII. 

Durante el siglo XV el matemático persa Al-kashi planteó la escritura decimal de los números fraccionarios y, al mismo tiempo, estableció las reglas de cálculo con los números decimales. En el Occidente cristiano a las fracciones decimales se les conocía como fracciones de los turcos.

Posteriormente a las fracciones equivalentes, que pueden ser simplificadas, se les denominó números racionales, mientras que la fracción siempre será un término que no tiene factores comunes entre el numerador y el denominador, es decir, es irreducible.

Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de números enteros y pertenecen a la recta real. 

No todas las cantidades se pueden representar a través de números naturales o enteros, aprende qué son los números racionales aquí.
Observa la siguiente situación: tres amigos cavernícolas salen en búsqueda de frutas para recolectar. Pasan todo el día buscando y solo encuentran cuatro sandías.  Si reparten todo lo que encontraron en porciones iguales, ¿cuánto corresponde a cada uno de ellos?

Les debe pertenecer más de una sandía pues ellos son tres y lograron recolectar más que ese número.  Les corresponde dos si hubieran encontrado seis, pero no encontraron sino cuatro.  Así, el número que representa la cantidad de sandía que les corresponde se encuentra entre y .

¿Conoces algún natural o entero que representé cuánto corresponde a cada uno?  Fíjate que queremos representar el resultado de dividir una cantidad entera en cierto número de partes iguales, en este caso dividir cuatro entre tres.  Necesitamos los símbolos adecuados para simbolizar tales divisiones:

Supongamos que y son dos números enteros, es decir: a, b que pertenecen a Z. Cuando queramos distribuir la cantidad en partes iguales, escribiremos para representar cada una de esas partes.

Llamaremos numerador al número de arriba y denominador al de abajo.

Volviendo al ejemplo de nuestros amigos cavernícolas, como se quieren dividir cuatro sandías en tres partes iguales, representamos cada parte con la expresión, que podemos leer simplemente como "cuatro sobre tres". En este caso, es el numerador y  es el denominador. 

Una forma de solucionar el problema de los tres amigos es dar a cada uno una sandía y dividir la restante en tres, dando a cada uno la fracción que le corresponde.

Podemos describir el conjunto de los números racionales o fraccionarios por comprensión así: 

La anterior expresión debe ser leída así: “Q es el conjunto de las expresiones  tales que  y  son números enteros y  es diferente a cero”.

Operaciones en el conjunto de los números racionales o fraccionarios

Cada vez que definimos nuevos conjuntos ganamos en el número de operaciones que podemos realizar, esto sucedió también con los conjuntos N y Z.

¿El sucesor de un número racional?

¿Crees que dado un número racional es posible encontrar el siguiente?  Fijemos las ideas: ubiquémonos en un número racional, por ejemplo, el 0.  ¿Cuál número racional es el siguiente al cero?  Si estuviéramos restringidos a N o Z, el sucesor sería simplemente 1, sin embargo, en el conjunto de los números racionales podemos representar fracciones de unidad.

Lo anterior quiere decir que para encontrar el sucesor del cero debemos buscar la expresión del tipo a/b que represente la parte de unidad más cercana a cero, que representa no tener nada.
Representemos las unidades con círculos.  Si partimos una unidad en dos partes iguales debemos representar cada una de ellas con la expresión 1/2, si la partimos en tres, con la expresión 1/3 y así sucesivamente.

En la figura anterior puedes ver las partes de unidad que representan las fracciones 1, ½, 1/3, ¼ y 1/5 resaltadas con color.  Como te puedes dar cuenta, entre más partes se divide la unidad, más pequeñas resultan cada una de las partes.  Las expresiones 1/6, 1/7 y 1/8 etc. representan partes aún más pequeñas.

Entonces... ¿cuál es el sucesor del cero? ¡No existe!  Los números fraccionarios no tienen sucesor; es decir, si nos ubicamos en cualquier racional no existe uno que siga sin que no haya más entre estos.  Cada vez que escojas dos números racionales cualesquiera, por más cercanos que sean, encontrarás que entre ellos existen infinitos.

Los Números Enteros

Historia de los números enteros

Durante los siglos VI y VII, los hindúes fueron los pioneros en usar las cantidades negativas como un medio para representar las deudas. 

No obstante su uso en esos siglos, la aceptación del concepto de número negativo en Occidente fue un proceso de una lentitud sorprendente, ya que, por varios siglos, los números negativos no fueron considerados como cantidades verdaderas, debido a la imposibilidad de representarlos en el mundo físico.

Finalmente, y con mucha dificultad, los números negativos fueron considerados en la resolución de ecuaciones, según se refleja en los escritos del matemático italiano Gerónimo Cordano: “Olvidad las torturas mentales que esto os producirá e introducid estas cantidades en la ecuación”. 

En el siglo XIX aún existía entre los matemáticos de Occidente una gran desconfianza en el manejo de las cantidades matemáticas, hasta que en el mismo siglo Weierstrass hizo la construcción formal de los números enteros a partir de los números naturales.

Se conoce como números enteros o simplemente enteros al conjunto numérico que contiene a la totalidad de los números naturales, a sus inversos negativos y al cero.

Los números enteros se representan en una recta numérica, teniendo el cero en medio y los números positivos (Z+) hacia la derecha y los negativos (Z-) a la izquierda, ambos lados extendiéndose hasta el infinito. Normalmente se transcriben los negativos con su signo (-), cosa que no hace falta para los positivos, pero puede hacerse para resaltar la diferencia. 

La incorporación de los números enteros a los números naturales permite agrandar el espectro de cosas cuantificables, abarcando cifras negativas que sirven para llevar el registro de las ausencias o las pérdidas, o incluso para ciertas magnitudes como la temperatura, que emplea valores sobre y bajo cero. 

Propiedades de los números enteros 

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse tal y como los números naturales, pero siempre obedeciendo a las normas que determinan el signo resultante, de la siguiente manera: 

Suma 

En esta operación los elementos reciben el nombre de sumandos y el resultado suma o adición. La suma o adición de números enteros se efectúa sólo si los signos de los números son iguales.

Resta 

Es la operación inversa de la suma o adición. Los elementos de una resta son el minuendo (+), sustraendo (−) y la diferencia.

Cuando se restan 2 números enteros la diferencia lleva el signo del entero de mayor valor absoluto, como lo muestran los siguientes ejemplos:

Suma y resta con signos de agrupación

Al realizar sumas y restas de números enteros que tienen signos de agrupación, primero es necesario eliminar dichos signos, para hacerlo debes seguir el siguiente procedimiento: 

Si a un signo de agrupación lo precede un signo positivo, el número entero que encierra conserva su signo. Analicemos el siguiente ejemplo:

Multiplicación 

La multiplicación es la representación de la suma de una misma cantidad varias veces. Una multiplicación se representa con los símbolos, “×” “⋅” o “( )”.

Ejemplo 

La multiplicación de 3 × 4 es lo mismo que: 3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12 o bien 4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Los elementos de una multiplicación reciben el nombre de factores y el resultado producto o multiplicación. Así, en el ejemplo anterior, 3 y 4 son los factores y 12 es el producto. Para no realizar las sumas, se utilizan de forma mecánica las tablas de multiplicar. Al multiplicar números de varios dígitos, éstos se colocan en vertical y se realiza el procedimiento

Multiplicación con signos de agrupación 

Los signos de agrupación que se utilizan son: ( ), [ ], { }, ; cuyos nombres respectivamente son: paréntesis, corchetes, llaves y vínculo. 

Para simplificar y obtener el resultado de una operación con signos de agrupación, hay que suprimir éstos y multiplicar los números del interior de los signos por el número o signo que los anteceden. 

Después se agrupan y suman los números del mismo signo y los resultados se restan.

División 

Si a y b son números enteros, la división de a entre b, siendo b un número entero diferente de cero, consiste en encontrar a los números enteros q y r tales que: 

a = b p + r                                    Para todo a > b y b < r.

Donde a recibe el nombre de dividendo, b el de divisor, p el de cociente y r residuo.

Ejemplo 

En la división de 25 entre 4, el cociente es 6 y el residuo, 1 ya que:

25 = 4(6) + 1

Cuando en una división el residuo es igual a 0, entonces se dice que la división es exacta. 

Las divisiones se representan con los siguientes símbolos: 

1. Con una caja divisora
2. Por medio de dos puntos 9 : 7
3. Con el signo ÷
4. Con una raya horizontal (fracción) 24/8

Algoritmo de la división 

Para dividir a entre b con a > b, se efectúan los siguientes pasos:

1.Se acomoda el dividendo dentro de la caja divisora y el divisor fuera de ella.

2. Del dividendo se toman las cifras necesarias para formar un número mayor o igual que el divisor. 

3. El dividendo parcial se divide entre el divisor y resulta la primera cifra del cociente, que se coloca encima de la última cifra del dividendo parcial, enseguida se multiplica la primera cifra del cociente por el divisor y el producto se resta del dividendo parcial y se escribe la diferencia debajo del dividendo parcial.

4. A la derecha de la diferencia se baja la siguiente cifra del dividendo original, con lo que se forma un nuevo dividendo parcial al que se le repite el proceso descrito.

5. Se continúa con el proceso hasta bajar todas las cifras del dividendo original. 

6. Si algún dividendo parcial resulta ser menor que el divisor, se escribe cero en el cociente y se baja la siguiente cifra del dividendo original.

Los Números Naturales

 

¿Qué son los números naturales?

Los números naturales son los que desde el principio de los tiempos se han utilizado para contar. En la mayoría de países han adoptado los números arábigos, llamados así porque fueron los árabes quienes los introdujeron en Europa, pero fue en la India donde se inventaron. 

Para negociar y ordenar cosas, el hombre tuvo la necesidad de representar las cantidades de lo que tenía para saber con qué contaba exactamente. De ahí surgió la necesidad de crear símbolos que representaran esas cantidades.

Por ejemplo, si alguien sabía cuántas gallinas tenía, podría establecer del mismo modo la cantidad de días que podría alimentar a su familia.

A partir de esta necesidad el hombre crea lo que hoy conocemos como números naturales.

Estos son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones debido a que contar y ordenar elementos son las tareas más elementales en el tratamiento de las cantidades.

Los números naturales son aquellos símbolos que nos permiten representar la cantidad de elementos que tiene un conjunto.

Debido a la importancia de este conjunto de números se creó un símbolo especial para identificarlo, usaremos la letra 

para representar el conjunto de los números naturales; así, cuando veas esta 

en un libro de matemáticas, o en alguna clase, sabrás a qué se refiere.

¿Alguna vez te has preguntado cuál es el último número natural?  No hay, sencillamente no existe un número natural que sea más grande que todos los demás, cada vez que pienses en uno, podrás encontrar muchos que sean mayores que él.  Como no terminan nunca, decimos que 

es un conjunto infinito.

Algunas propiedades del conjunto de los números naturales

Los números naturales poseen propiedades únicas que los diferencian de los demás conjuntos numéricos, te invitamos a conocerlas.
Los números naturales se caracterizan por dos propiedades:

1. El número 1 es el primer número natural y cada número natural se forma sumándole 1 al anterior.
2. Cuando restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no es necesariamente un número natural, y por eso decimos que los números naturales no son cerrados respecto estas dos operaciones. En cambio, sí son cerrados respecto a la suma y la multiplicación, es decir, la suma o multiplicación de dos números naturales da siempre como resultado otro número natural.

Operaciones en el conjunto de los números naturales 

Los números naturales son aquellos que nos permiten contar los elementos de un determinado conjunto. Gracias a esto, cuando realizamos operaciones con ellos, los resultados pueden ser o no números naturales.

Si sumamos dos números naturales, el resultado siempre será otro número natural.  Lo mismo ocurre cuando multiplicamos, pero cuando restamos dos números naturales el resultado no siempre será otro número natural, lo mismo ocurre con la división.

Por ejemplo, intenta restar  menos ,  ¿crees que es posible representar el resultado de esta operación con algún número natural?  Debido a lo anterior consideramos sobre el conjunto de los números naturales solo dos operaciones: la suma y la multiplicación.  Si quieres aprender más sobre ellas visita nuestros cursos Suma y Multiplicación.

El primer natural

Como hemos dicho que los naturales son los números sirven para representar la cantidad de elementos que tiene un determinado conjunto, tomaremos el conjunto de los naturales o 

a partir del , pues este número representa la cantidad de elementos que tiene el conjunto vacío.

Más adelante verás que no todos los conjuntos tienen un primer elemento.  Esta propiedad es una de las más importantes del conjunto de los números naturales.

El sucesor de un número natural

Otra propiedad importante de este conjunto de números es que cada uno de sus elementos tiene un sucesor.  Es decir, si tomamos como referencia determinado número natural, podemos saber cual es el siguiente y tener la certeza que entre el número y su siguiente no habrá ningún otro.  Este número es llamado sucesor.  Si por ejemplo tomamos como referencia el , sabemos su sucesor será el  y entre estos dos números no encontraremos ningún otro.  ¡Aunque te parezca increíble no todos los conjuntos numéricos cumplen esta sencilla propiedad!

Orden de los números naturales

En su función de representar cantidades, existen unos números naturales que representan más que otros.  Decimos entonces que hay números naturales mayores o menores que otros, esta relación es llamada orden.

Para representar que un número es mayor que otro usaremos el símbolo “mayor que”: , de la siguiente manera: ubicamos el número mayor  al lado abierto del símbolo , el menor lo ubicamos al otro lado.

Tomemos como ejemplo el  y el . Sabemos desde nuestra infancia que él  representa una mayor cantidad de elementos que el .  Debemos escribir por lo tanto .  Esta expresión debe ser leída como “cinco es mayor que tres”.

Observe el siguiente video para conocer más sobre los números naturales.