Los Números Enteros

Historia de los números enteros

Durante los siglos VI y VII, los hindúes fueron los pioneros en usar las cantidades negativas como un medio para representar las deudas. 

No obstante su uso en esos siglos, la aceptación del concepto de número negativo en Occidente fue un proceso de una lentitud sorprendente, ya que, por varios siglos, los números negativos no fueron considerados como cantidades verdaderas, debido a la imposibilidad de representarlos en el mundo físico.

Finalmente, y con mucha dificultad, los números negativos fueron considerados en la resolución de ecuaciones, según se refleja en los escritos del matemático italiano Gerónimo Cordano: “Olvidad las torturas mentales que esto os producirá e introducid estas cantidades en la ecuación”. 

En el siglo XIX aún existía entre los matemáticos de Occidente una gran desconfianza en el manejo de las cantidades matemáticas, hasta que en el mismo siglo Weierstrass hizo la construcción formal de los números enteros a partir de los números naturales.

Se conoce como números enteros o simplemente enteros al conjunto numérico que contiene a la totalidad de los números naturales, a sus inversos negativos y al cero.

Los números enteros se representan en una recta numérica, teniendo el cero en medio y los números positivos (Z+) hacia la derecha y los negativos (Z-) a la izquierda, ambos lados extendiéndose hasta el infinito. Normalmente se transcriben los negativos con su signo (-), cosa que no hace falta para los positivos, pero puede hacerse para resaltar la diferencia. 

La incorporación de los números enteros a los números naturales permite agrandar el espectro de cosas cuantificables, abarcando cifras negativas que sirven para llevar el registro de las ausencias o las pérdidas, o incluso para ciertas magnitudes como la temperatura, que emplea valores sobre y bajo cero. 

Propiedades de los números enteros 

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse tal y como los números naturales, pero siempre obedeciendo a las normas que determinan el signo resultante, de la siguiente manera: 

Suma 

En esta operación los elementos reciben el nombre de sumandos y el resultado suma o adición. La suma o adición de números enteros se efectúa sólo si los signos de los números son iguales.

Resta 

Es la operación inversa de la suma o adición. Los elementos de una resta son el minuendo (+), sustraendo (−) y la diferencia.

Cuando se restan 2 números enteros la diferencia lleva el signo del entero de mayor valor absoluto, como lo muestran los siguientes ejemplos:

Suma y resta con signos de agrupación

Al realizar sumas y restas de números enteros que tienen signos de agrupación, primero es necesario eliminar dichos signos, para hacerlo debes seguir el siguiente procedimiento: 

Si a un signo de agrupación lo precede un signo positivo, el número entero que encierra conserva su signo. Analicemos el siguiente ejemplo:

Multiplicación 

La multiplicación es la representación de la suma de una misma cantidad varias veces. Una multiplicación se representa con los símbolos, “×” “⋅” o “( )”.

Ejemplo 

La multiplicación de 3 × 4 es lo mismo que: 3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12 o bien 4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Los elementos de una multiplicación reciben el nombre de factores y el resultado producto o multiplicación. Así, en el ejemplo anterior, 3 y 4 son los factores y 12 es el producto. Para no realizar las sumas, se utilizan de forma mecánica las tablas de multiplicar. Al multiplicar números de varios dígitos, éstos se colocan en vertical y se realiza el procedimiento

Multiplicación con signos de agrupación 

Los signos de agrupación que se utilizan son: ( ), [ ], { }, ; cuyos nombres respectivamente son: paréntesis, corchetes, llaves y vínculo. 

Para simplificar y obtener el resultado de una operación con signos de agrupación, hay que suprimir éstos y multiplicar los números del interior de los signos por el número o signo que los anteceden. 

Después se agrupan y suman los números del mismo signo y los resultados se restan.

División 

Si a y b son números enteros, la división de a entre b, siendo b un número entero diferente de cero, consiste en encontrar a los números enteros q y r tales que: 

a = b p + r                                    Para todo a > b y b < r.

Donde a recibe el nombre de dividendo, b el de divisor, p el de cociente y r residuo.

Ejemplo 

En la división de 25 entre 4, el cociente es 6 y el residuo, 1 ya que:

25 = 4(6) + 1

Cuando en una división el residuo es igual a 0, entonces se dice que la división es exacta. 

Las divisiones se representan con los siguientes símbolos: 

1. Con una caja divisora
2. Por medio de dos puntos 9 : 7
3. Con el signo ÷
4. Con una raya horizontal (fracción) 24/8

Algoritmo de la división 

Para dividir a entre b con a > b, se efectúan los siguientes pasos:

1.Se acomoda el dividendo dentro de la caja divisora y el divisor fuera de ella.

2. Del dividendo se toman las cifras necesarias para formar un número mayor o igual que el divisor. 

3. El dividendo parcial se divide entre el divisor y resulta la primera cifra del cociente, que se coloca encima de la última cifra del dividendo parcial, enseguida se multiplica la primera cifra del cociente por el divisor y el producto se resta del dividendo parcial y se escribe la diferencia debajo del dividendo parcial.

4. A la derecha de la diferencia se baja la siguiente cifra del dividendo original, con lo que se forma un nuevo dividendo parcial al que se le repite el proceso descrito.

5. Se continúa con el proceso hasta bajar todas las cifras del dividendo original. 

6. Si algún dividendo parcial resulta ser menor que el divisor, se escribe cero en el cociente y se baja la siguiente cifra del dividendo original.